数值计算方法之数值积分与微分

1. 数值积分的基本思想

⑴当找到一个足够精度的简单函数p(x)代替原函数f(x),就有： 当简单函数p(x)是插值多项式时，这时求积公式就是插值求积公式，用代数精度来衡量数值积分的近似程度。 ⑵数值求积公式是取积分区间［a,b]上的若干个点xk处的高度f（xk）通过加权Ak后，再求和，从而得到积分的近似值。数值求积公式写成一般形式： 2. 代数精度 (1)上述求积公式具有m次代数精度使该公式对于f(x)=1+x+x2+…xm 均准确成立（余项为零），而对f(X)=xm+1 不能准确成立 (2)对于给定的n+1个（相异）节点Xk，k=0，1，…，n，求积公式至少具有n次代数精度 (3)关于求积系数的解法： a.首先确定求积公式的精度（若求积公式选取了4个节点则精度至少为3） b.其次根据求积公式的精度（假设为3）,令求积公式对f(x)=1,x,x2,x3均准确成立（假设精度为n则f(x)=1,x,x2,…,xn均准确成立） c.根据下列方程组接触求积系数Ak 3. 插值求积公式 (1)求积公式的系数则称求积公式为插值求积公式。 (2)n+1个节点的求积公式至少具有n次代数精度的充要条件为该公式是插值型的。 (3)n+1个节点的插值公式至少具有n次代数精度，若要知道准确的代数精度还需将f(x)=xn+1带入求积公式，若等式两边值相等则精度为n+1，继续将f(x)=xn+2，直到不相等为止。 (4)插值求积公式具有如下特点 a.复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分 b.求积系数Ak只与积分区间、节点xk有关 c.求积系数之和等于求积区间长度（b-a） d.n+1个节点的插值求积公式至少具有n次代数精度

1. 公式的导出 (1)定义：插值求积公式在积分区间上等间距取节点xk时称为牛顿-柯特斯公式 (2)牛顿-柯特斯公式如下：公式中柯特斯系数Ck=Ak/(b-a)，h=(b-a)/n（等距离h取n+1个点） (3)柯特斯系数Ck的特点： a.柯特斯系数之和为1 b.柯特斯系数具有对称性，即Ck=Cn-k c.柯特斯系数从n=8开始有复数出现 (4)常见的牛顿-柯特斯公式 一阶(n=1)牛顿-柯特斯公式（又称梯形公式）

二阶(n=2)牛顿-柯特斯公式（又称辛普森公式）

四阶(n=4)牛顿-柯特斯公式（又称柯特斯公式） 2. 牛顿-柯特斯公式的代数精度 (1)牛顿-柯特斯公式是插值求积公式，因此n阶牛顿-柯特斯公式至少具有n次代数精度 (2)当n为偶数时，牛顿-柯斯特公式具有n+1次代数精度，例如辛普森公式（n=2）具有3次代数精度

3.梯形公式和辛普森公式的余项 (1)求积公式的余项表示求积公式的精度，平常求积公式写为有余项的形式但当求积公式对f(x)=1,x,…,xn准确成立时，余项为0。 (2)牛顿柯特斯求积公式的余项

(3)若f(x)在区间[a,b]上有连续的二阶导数，则梯形公式的余项为

梯形公式具有1次代数精度，余项与积分区间有关 (4)若f(x)在区间[a,b]上有连续的四阶导数，则辛普森公式的余项为

柯特斯公式的余项为 4. 牛顿-柯特斯公式的稳定性 (1)如果计算结果对误差的影响不敏感则认为算法是稳定的，否则是稳定的 (2)数值求积公式稳定的定义

(3)数值求积公式的求积系数Ak>0时，该求积公式是稳定的；对于柯特斯系数Ck，当n>8时有正有负，求积公式稳定性没有保证。